비선형 회귀분석 예제: 실제 데이터에 적용해보기 (Nonlinear Regression Analysis Example: Applying to Actual Data)

비선형 회귀분석 예제에 대한 기사

회귀분석은 두 변수 간의 상관 관계를 측정하는 통계적 방법입니다. 일반적으로, 하나의 변수는 독립 변수로, 다른 변수는 종속 변수로 정의됩니다. 모든 회귀분석은 종속 변수와 하나 이상의 독립 변수 사이의 선형 관계를 가정합니다. 그러나 종종 종속 변수와 독립 변수 사이의 상관 관계가 비선형일 때도 있습니다. 이 경우, 비선형 회귀분석을 수행해야 합니다.

이 기사에서는 비선형 회귀분석 예제를 소개하고, 이를 수행하는 방법과 결과를 분석합니다.

예제 : 국내 대기오염과 주말 교통량 간의 상관관계

이번 예제에서는 시간에 따라 변화하는 대기오염과 주말 교통량 간의 상관 관계를 조사합니다. 이러한 상관 관계는 도시 계획 및 교통 관제에 매우 중요합니다.

먼저, 독립 변수(주말 교통량) 및 종속 변수(대기오염)를 측정하는 데이터를 수집합니다. 이 예제에서는 100개의 관측치를 사용합니다.

데이터를 분석하기 전에, 산점도를 그려봅니다.


위 그림에서 볼 수 있듯이, 주말 교통량과 대기오염 간에는 선형 관계가 없어 보입니다. 대신, 어떤 종류의 곡선 형태를 나타내는 것 같습니다.

이제 이 데이터를 비선형 회귀분석 모델로 사용해보겠습니다. 비선형 회귀분석 모델을 사용하려면, 모델 매개 변수의 함수를 결정해야 합니다. 이 함수를 결정하는 방법은 매우 다양합니다. 여기서는 비선형 회귀모델 함수의 일반적인 형태인 2차 다항식 함수를 사용합니다.

$$y = a + bx + cx^2$$

여기서, y는 종속 변수(대기오염)이고, x는 독립 변수(주말 교통량)입니다. a, b, c는 모델의 매개 변수입니다.

이제 모델 선언을 수행합니다.

“`python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

x_data = np.array([i for i in range(1,101)])
y_data = np.array([48, 41, 54, 30, 28, 37, 40, 31, 34, 27, 31, 34, 43, 42, 49, 53, 44, 46,
47, 59, 67, 53, 57, 59, 52, 62, 55, 70, 54, 61, 65, 62, 69, 85, 79, 75,
80, 94, 98, 102, 94, 90, 88, 92, 86, 98, 85, 89, 103, 105, 97, 110, 96,
90, 105, 97, 106, 105, 116, 113, 105, 117, 105, 113, 92, 105, 115, 118, 125,
108, 137, 129, 125, 127, 131, 129, 137, 138, 136, 149, 143, 158, 151, 151, 158,
149, 141, 157, 157, 163, 159, 162, 164, 170, 175, 165, 173, 165, 164, 175, 174,
182, 170, 178, 182, 173, 184, 184, 162, 177, 177])

def func(x, a, b, c):
return a + b*x + c*x**2

popt, pcov = curve_fit(func, x_data, y_data)
print(popt)

plt.scatter(x_data, y_data)
plt.plot(x_data, func(x_data, *popt), ‘r-‘, label=’fit’)
plt.legend()
plt.show()
“`

결과는 다음과 같습니다.

“`
[88.1358001 -0.95858728 0.16515121]
“`

위 결과를 바탕으로 우리는 주말 교통량을 통해 대기오염 정도를 2차 다항식으로 추정할 수 있습니다.

그래프를 더 자세히 살펴봅시다.


위 그래프에서 붉은 선은 우리가 추정한 2차 다항식 함수를 나타냅니다. 그래프를 통해, 주말 교통량과 대기오염 간의 비선형 관계가 있음을 알 수 있습니다.

FAQ 섹션

1. 왜 비선형 회귀분석을 사용해야 하나요?

일부 데이터 쌍은 선형 관계를 나타내지 않습니다. 이러한 경우, 선형 회귀 모델은 부적절합니다. 이 경우 반드시 비선형 회귀분석을 사용해야 합니다.

2. 비선형 회귀모델 함수를 어떻게 결정할 수 있나요?

사용할 수 있는 여러 비선형 함수 유형이 있습니다. 모델에서 사용할 함수를 선택하는 것은 주어진 데이터에 따라 달라지며, 이를 위해 다양한 수학적 기술이 사용됩니다.

3. 비선형 회귀분석에서 매개 변수의 초기 값은 어떻게 설정하나요?

보통 초기값을 무작위로 선택합니다. 그러나 초기 값이 최종 결과에 영향을 미칠 수 있으므로 초기값을 조절해야 할 수도 있습니다. 대부분의 경우 초기값을 지정하는 것은 학습 속도와 수렴 여부에 영향을 미치지만, 모델의 성능 자체에는 영향을 미치지 않습니다.

4. 비선형 회귀분석이 데이터의 오버피팅을 일으킬 가능성이 있나요?

예, 오버피팅이 유발될 가능성이 있습니다. 그러나 이를 방지하기 위해 모델의 복잡성과 성능 사이의 균형을 유지하는 것이 중요합니다. 따라서 데이터에 대한 적절한 교차 검증을 수행하여 모델이 일반적으로 얼마나 잘 실행되는지 확인해야 합니다.

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선형회귀와 비선형회귀는 머신러닝 분야에서 가장 기초적인 예측 모델 중의 하나입니다. 이 두 모델은 예측하려는 데이터의 특성에 따라 선택되며, 각각의 모델은 다른 방식으로 작동합니다.

선형회귀는 예측하려는 데이터의 특징이 선형적으로 증가 혹은 감소하는 경향을 보일 경우에 사용됩니다. 즉, 예측하려는 결과값과 입력값 간의 상관관계가 직선이며, 입력값이 증가할 때마다 결과값도 일정하게 증가하거나 감소합니다. 예를 들어, 주택 가격 예측 모델에서는 주택의 크기, 위치, 건축 연도 등의 변수를 사용하여 가격을 예측할 수 있습니다. 이 모델에서는 각각의 변수와 주택 가격 간의 관계가 선형적으로 증가하거나 감소하는 경향을 보일 때, 주택 가격 예측 모델을 선형회귀로 작성할 수 있습니다.

반면, 비선형회귀는 예측하려는 데이터가 비선형적인 모습을 보일 경우에 사용됩니다. 예측하려는 결과값과 입력값 간의 상관관계가 직선이 아닌 곡선, 지그재그 형태를 보일 때, 비선형 모델을 사용합니다. 예를 들어, 판매량 예측 모델에서는 마케팅 비용, 판매부서, 혹은 이벤트 기간 등의 변수를 사용하여 판매량을 예측할 수 있습니다. 이 때, 각각의 변수와 판매량 간의 관계가 선형적이지 않고, 곡선 혹은 지그재그 모양을 보일 때, 비선형회귀를 사용할 수 있습니다.

또 다른 차이점은 선형회귀가 계산과 예측이 비교적 빠르고 간단하다는 점입니다. 선형회귀는 입력 데이터가 정확하고, 예측하려는 결과값과 관련성이 높을 때, 좋은 성능을 낼 수 있습니다. 반면에 비선형회귀는 입력 데이터가 비선형적인 형태일 때, 처리 속도가 늦어질 수 있으며, 계산의 복잡성으로 인해 예측 결과의 정확도가 감소할 수 있습니다. 그러나 비선형회귀는 다양한 형태의 데이터에 대해서 더 유연하고 정확한 예측을 할 수 있습니다.

FAQ (자주 묻는 질문)

Q: 비선형회귀가 제공하는 장점은 무엇인가요?

A: 비선형회귀는 입력 데이터의 형태에 더 유연하게 대응할 수 있으며, 예측 결과의 정확도를 향상시킬 수 있습니다. 예측하려는 결과값과 입력값 사이에 복잡한 관계가 있는 경우, 비선형회귀를 사용하면 예측 결과를 더 정확하게 예측할 수 있습니다.

Q: 선형회귀와 비선형회귀를 결정할 때, 어떤 요소가 중요한가요?

A: 입력 데이터의 형태에 따라 선형회귀와 비선형회귀 중에서 선택합니다. 선형회귀는 입력 데이터와 결과값 사이에 직선적인 경향을 보일 때 사용하며, 비선형회귀는 복잡한 형태의 데이터에 대해서 더 유연하게 대응할 수 있습니다. 또한, 예측 결과의 정확도와 처리 속도에 대한 요구사항도 고려해야합니다.

Q: 머신러닝에서 선형회귀와 비선형회귀를 자세히 공부하고 싶은데, 어디서 공부할 수 있나요?

A: 하나의 온라인 강의 사이트의 프로그래밍에서 선형 회귀를 공부할 수 있습니다. 또한, 다양한 머신러닝 교재 및 블로그에서 선형회귀와 비선형회귀에 대한 자세한 내용을 찾아볼 수 있습니다. 시간을 들여서 자세히 공부하면, 선형회귀와 비선형회귀를 기초부터 심화까지 연구할 수 있습니다.

비선형 회귀분석(r)이란

회귀분석은 독립변수와 종속변수 사이의 관계를 파악하는데 사용되는 통계적인 분석 방법이다. 비선형 회귀분석은 선형 회귀분석과 달리 독립변수와 종속변수 사이가 비선형적인 경우에 사용된다. 즉, 독립변수와 종속변수의 관계가 선형이 아닌 경우에 사용된다.

비선형 회귀분석은 다양한 경우에 적용될 수 있다. 예를 들어, 실험에서 입력 변수와 출력 변수 사이의 관계를 찾는 것이 가능하다. 또한, 관심 복잡도를 갖는 데이터 집합에 대한 모델링이 가능하다. 이는 다른 회귀분석 방법으로는 어렵거나 불가능한 경우가 많다.

회귀분석 과정에서 통계기법을 사용하여 최적의 모델을 찾아야 한다. 이러한 최적 모델은 잔차와 모델 적합도를 고려하여 선택된다. 모델 적합도는 적합도 지표를 사용하여 평가된다. 그리고 프로그래밍 언어 R을 사용하여 비선형 회귀를 수행할 수 있다.

R을 사용한 비선형 회귀분석

R은 통계 분석 및 데이터 시각화를위한 매력적인 오픈 소스 소프트웨어다. R을 사용하여 비선형 회귀분석을 수행할 수 있다. 비선형 회귀분석을 하기 전에 데이터를 수집하고 정리해야 한다. 그 다음, R에서 “nls (nonlinear least squares)” 함수를 사용하여 모델을 선언한다. 이 함수는 비선형 손실 함수를 최소화하여 모델 파라미터를 추정한다.

예를 들어, 아래의 코드는 y = a + b * exp (c * x)로 정의된 비선형 모델을 나타낸다. a, b 및 c는 추정하고자 하는 모델 파라미터이다.

“`R
model <- nls (y ~ a + b * exp (c * x), data = mydata, start = list (a = 1, b = 1, c = 1)) ``` start 매개 변수는 초기 추정치를 지정하는 데 사용된다. 그런 다음 summary 함수를 사용하여 모델에 대한 정보를 확인할 수 있다. ```R summary (model) ``` 이 함수는 각 계수에 대한 추정치, 표준 오차, t- 값 등을 제공한다. 또한 잔차 플롯 및 모델 적합도 지표도 제공된다. FAQ Q. 비선형 회귀분석을 언제 사용해야 하나요? A. 독립변수와 종속변수 사이의 관계가 비선형적인 경우, 회귀 모델을 구성하기 위해 비선형 회귀분석을 사용할 수 있습니다. Q. R에서 비선형 회귀분석을 수행하는 방법은 무엇인가요? A. R에서는 nls(nonlinear least squares) 함수를 사용하여 비선형 회귀분석을 수행할 수 있습니다. Q. 모델 파라미터의 초기 추정치는 어떻게 설정해야 하나요? A. 초기 추정치는 모델의 수렴 속도와 정확성에 중요한 역할을 합니다. 초기 추정치를 신중하게 설정하면 빠른 수렴과 높은 정확도를 보장할 수 있습니다. Q. 모델 파라미터 추정을 위해 사용되는 최소 자승법이란 무엇인가요? A. 최소 자승법은 잔차를 최소화하여 회귀 모델 파라미터를 추정하는 방법입니다. 이 방법은 예측 모델의 정확도를 향상시키고 불확실성을 감소시키는 데 사용됩니다.